PENYELESAIAN OPERASI MATRIKS UNTUK
MEMPEROLEH SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Oleh
Sulis
Setiyawati
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA
Abstrak
Operasi dalam matriks dapat dibagi
menjadi tiga yaitu penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Suatu matriks A dan
B dapat dijumlah, dikurang atau dikalikan jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks
B.
1.
Pendahuluan
Dalam kehidupan
sehari-hari kita sering berhadapan dengan masalah matematika. Dengan
mengubahnya kedalam bahasa atau persamaan matematika maka persoalan tersebut
lebih mudah diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalan sering kali memuat
lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga kita mengalami
kesulitan untuk mencari hubungan antara variabel-variabelnya. Matriks, pada
dasarnya merupakan suatu alat yang cukup ampuh untuk memecahkan persoalan
tersebut. Dengan menggunakan matriks memudahkan kita untuk membuat
analisa-analisa yang mencakup hubungan variabel-variabel dari suatu persoalan.
2.
Pembahasan
2.1
Pengertian Matriks
Matriks
adalah kumpulan bilangan-bilangan atau elemen-elemen yang berbentuk persegi
panjang yang diatur dalam baris dan kolom. Susunan elemen ini diletakkan dalam
tanda kurung ( ) atau kurung siku [ ]. Elemen-elemen dapat berupa bilagan atau
berupa huruf. Matriks di notasikan dalam huruf kapital, sedangkan elemennya
ditulis dalam huruf kecil. Ukuran sebuah matriks dinyatakan dalam satuan ordo,
yaitu banyaknya baris dan kolom dalam matriks tersebut.
Keterangan
:
a11, a12, ....= Elemen atau bilangan
𝑚 = Baris
𝑛 = Kolom
2.2 Jenis-jenis Matriks
2.2.1 Berdasarkan
ordonya, matriks di bagi menjadi beberapa jenis, yaitu :
a. Matriks
bujur sangkar atau pesergi adalah matriks yang memiliki jumlah baris ( 𝑚
) dan jumlah kolom ( 𝑛 ) yang sama.
Contoh
: B₂ₓ₂ = 
b. Matriks
baris adalah matriks yang hanya memiliki satu baris tetapi memiliki beberapa
kolom. Matriks ini ordonya adalah 1 x 𝑛 dimana 𝑛 harus lebih besar dari 1.
Contoh
: C₁ₓ₃
= [ 1 3 5 ]
c. Matriks
kolom adalah matriks yang hanya memiliki satu baris tetapi
memiliki beberapa kolom. Matriks ini ordonya adalah 𝑚 x 1
dimana 𝑚 harus lebih besar dari 1.
Contoh
: D₃ₓ₁
= 
d. Matriks mendatar adalah matriks yang
jumlah kolomnya lebih banyak dari jumlah barisnya.
Contoh : E₃ₓ₅ = 
e. Matriks
tegak adalah matriks yang jumlah barisnya lebih banyak dari jumlah koomnya.
Contoh : G₃ₓ₂
= 
2.2.2 Berdasarkan pola elemen-elemennya, matriks
dibagi menjadi beberapa jenis,
yaitu :
a. Matriks nol adalah matriks berordo m x n yang
elemen-elemennya bernilai nol.
Contoh : I₂ₓ₂
= 
b. Matriks diagonal adalah matriks persegi yang
elemen-elemennya bernilai nol kecuali diagonal utamanya.
Contoh : F₃ₓ₃
= 
c. Matriks identitas adalah martriks persegi
yang elemen diagonal utamanya bernilai satu dan elemen lainnya bernilai nol.
Contoh
: H₃ₓ₃ = 
d. Matriks
segitiga terdiri dari dua jenis yaitu matriks segitiga atas dan matriks
segitiga bawah. Matriks segitiga atas merupakan matriks yang elemen-elemen di
bawah diagonal utamanya bernilai nol. Matriks segitiga bawah merupakan matriks
yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.
Contoh :
A₃ₓ₃
= 
→ matriks segitiga atas
→ matriks segitiga atas
B₃ₓ₃
= 
→
matriks segitiga bawah
→
matriks segitiga bawah
e. Matriks simetri adalah matriks bujur
sangkar dimana elemen yang ada di atas dan dibawah diagonal utamanya memiliki
susunan nilai yang sama.
Conyoh : D₃ₓ₃ = 
f. Matriks
skalar adalah matriks yang elemen-elemen pada diagonal utamanya sama dan elemen
lain bernilai nol.
Contoh : G₃ₓ₃ = 
g. Matriks transpose adalah matriks
yang diperoleh dari matriks sebelumnya dengan mengubah baris menjadi kolom dan
kolom menjadi baris.
Contoh
: H = 
Hᵀ
= 
2.3
Operasi Matriks
a. Penjumlahan
dan pengurangan matriks
Matriks dapat dijumlah atau dikurang jika
memiliki ordo yang sama.
1. Penjumlahan
A=
B = 
B =
A + B =
2. Pengurangan
A – B = 
- Perkalian matriks
Dua
matriks A dan B dapat dikalikan jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak
baris matriks B.
A
= 
2.4
Determinan matriks
Penulisan
suatu determinan matriks ditandai dengan kurung | |, misalkan determinan matriks A ditulis |A|.
Metode penghitungan determinan,
diantaranya :
- Determinan matriks ₂ₓ₂
Misalnya : A = 
|A| = 𝑎*𝑏 –c*d
b. Determinan
matriks₃ₓ₃
( sarrus )
2.5 Penyelesaian persamaan linear
dengan matriks
Metode eliminasi gauss
Contoh :
x + 2y + z = 6
x + 3y +
2z = 9
2x + y +
2z = 12
Jawab :
a.
Merubah
persamaan linear menjadi sebuah bentuk matriks
b. Merubah matriks menjadi bentuk matriks
eselon baris, sebelumnya perlu diketahui apa saja syarat matriks eselon baris, yaitu:
1. Di setiap baris, angka pertama
selain nol harus satu
(Contoh syarat 1)
2. Jika ada baris yang semua elemennya
nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.
(Contoh syarat 2)
3. Satu utama baris berikutnya berada
dikanan satu utama baris diatasnya.
(contoh syarat 3)
4. Jika kolom yang memiliki nilai angka
selain satu adalah nol maka matriks tersebut disebut eselon baris tereduksi.
(contoh
syarat 4)
setelah mengetahui syarat-syaratnya, selanjutnya operasikan matriks tadi agar menjadi eselon baris.
Mencari nilai x, y,
z dari matriks penyelesaian
Jadi, nilai x, y, dan z adalah 3, 0,
3
3.Penutup
Kesimpulan
Matriks
adalah kumpulan bilangan atau elemen-elemen yang berbentuk persegi panjang yang
diatur dalam baris dan kolom. Susunan elemen ini diletakkan dalam tanda kurung
( ) atau kurung siku [ ]. Matriks dapat dijumlah, dikurang, dan dikali jika
matriks tersebut memiliki baris dan kolom yang sama atau memiliki ordo yang
sama.
Daftar pustaka
id.wikipedia.org/wiki/aljabar_linear
Yuana, R. A. 2009.Khaznah Matematika
3 : untuk kelas XII SMA/MA Program Ilmu Pengetahuan. Sosial. Pusat
pembukuan,Departemen Pendidikan Nasianal,Jakarta.